题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数),
是
的导函数.
(Ⅰ)当时,求证
;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得
对一切
恒成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)存在且为.
【解析】(Ⅰ)要证明函数不等式(
),注意到
,因此我们可先研究函数的性质特别是单调性,这可通过导数的性质确定;
(Ⅱ)首先把不等式具体化,即不等式为
,注意到特殊情形,
时,不等式为
,因此
的值只有为1或2,因此只要证
时,不等式
恒成立即可,这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论,为了确定导数的正负的方便性,把不等式变为
,因此只要研究函数
的单调性,求得最小值即可.
试题解析:(Ⅰ)当时,
,则
,
令,则
,
令,得
,故
在
时取得最小值,
在
上为增函数,
,
(Ⅱ) ,
由,得
对一切
恒成立,
当时,可得
,所以若存在,则正整数
的值只能取1,2.
下面证明当时,不等式恒成立,
设 ,则
,
由(Ⅰ) ,
,
当
时,
;当
时,
,
即在
上是减函数,在
上是增函数,
,
当
时,不等式恒成立
所以的最大值是2.
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