题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若存在唯一整数,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)本问考查利用导数研究函数单调性,由函数在区间
上单调递增,则
在
上恒成立,即
在
上恒成立,采用参变分离的方法,将问题转化为
在
上恒成立,设函数
,于是只需满足
即可,问题转化为求函数
的最小值;(2)存在唯一整数
,使得
,即
,于是问题转化为存在唯一一个整数
使得函数
图像在直线
下方,于是可以画出两个函数图像,结合图像进行分析,确定函数在
时图像之间的关系,通过比较斜率大小来确定
的取值范围.
试题解析:(1)函数的定义域为
,
,
要使在区间
上单调递增,只需
,即
在
上恒成立即可,
易知在
上单调递增,所以只需
即可,
易知当时,
取最小值,
,
∴实数的取值范围是
.
(2)不等式即
,
令,
则,
在
上单调递增,
而,
∴存在实数,使得
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增,∴
.
,画出函数
和
的大致图象如下,
的图象是过定点
的直线,
由图可知若存在唯一整数,使得
成立,则需
,
而,∴
.
∵,∴
.
于是实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的
城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图(如图所示):
若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有
的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关:
合计 | |||
认可 | |||
不认可 | |||
合计 |
附:参考数据:(参考公式:)
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】已知点为椭圆
的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线
与椭圆
有且仅有一个交点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与
轴交于
,过点
的直线与椭圆
交于两不同点
,
,若
,求实数
的取值范围.
【题目】在测试中,客观题难度的计算公式为,其中
为第
题的难度,
为答对该题的人数,
为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
(Ⅱ)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(Ⅲ)定义统计量,其中
为第
题的实测难度,
为第
题的预估难度
.规定:若
,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.