Question

已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；
（Ⅲ）设，求在区间上的最小值.（为自然对数的底数）

Answer 1

(Ⅰ)的单调递减区间是和，单调递增区间是；(Ⅱ)；
（Ⅲ）当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.

试题分析：（Ⅰ）根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间；
（Ⅱ）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值；
（Ⅲ）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值.
试题解析：（Ⅰ），（），                        2分
在区间和上，；在区间上，.
所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分
(Ⅱ）设切点坐标为，则          6分（1个方程1分）
解得，.                                  7分
（Ⅲ），
则，                                  8分
解，得，
所以，在区间上，为递减函数，
在区间上，为递增函数.                     9分
当，即时，在区间上，为递增函数，
所以最小值为.                       10分
当，即时，在区间上，为递减函数，
所以最小值为.               11分
当，即时，最小值
=.
综上所述，当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.    12分