Question

已知函数f(x)=x³-2ax²+3x(x∈R).
（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.

Answer 1

（1）3x－3y+2=0；（2）1

（1）设切线的斜率为k，
则k==2x²－4x+3=2(x－1)²+1, …………2分
当x=1时，k_min=1.又f(1)=，
所以所求切线的方程为y－=x－1,
即3x－3y+2="0.         " ……………………6分
（2）=2x²－4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数，
必须满足＞0，即对任意的
x∈（0，+∞）,恒有＞0，=2x²－4ax+3＞0, ………………8分
∴a＜=+,而+≥，
当且仅当x=时，等号成立.
所以a＜，……………11分
所求满足条件的a值为1  ……………12分