Question

给出以下四个命题：
①设a是实数，i是虚数单位，若

a

1+i

+

1+i

2

是实数，则a=1；
②不等|x-1|+|x-2|≤2的解集为[

1

2

，

5

2

]；
③

∫

e 1

(ex-

2

x

)dx=ee-e-2；
④已知命题p：在△ABC中，如果cos²A=cos²B，则A=B；命题q：y=

1

x

在定义城内是减函数，则“p∧q”为真，“p∧q”为假，“￢p”为真．
其中正确命题的序号是

 

．（请把正确的序号全部填上）

Answer 1

分析：①

a

1+i

+

1+i

2

=

a(1-i)

2

+

1+i

2

，整理即可判断；
②可利用绝对值的几何意义，在数轴上作图即可判断，也可以用1，2把数轴分为三个区间，分区间讨论（也包括端点），去绝对值符号解决；
③利用积分公式计算即可作出判断；
④在△ABC中，由cos²A=cos²B，可得A=B，命题p 正确，q：y=

1

x

在定义城内是减函数，错误，由符合命题间的关系可判断④．

解答：解：∵

a

1+i

+

1+i

2

=

a(1-i)

2

+

1+i

2

=

a+1+(1-a)i

2

∈R，
∴a=1，故①正确；
由|x-1|+|x-2|≤2得，在数轴上0.5对应的点A到1对应的点M的距离为0.5，点A到2对应的点N的距离为1.5，同理2.5对应的点为B，则|BM|=|AN|=1.5
|BN|=|AM|=0.5，在AB之间的任一点对应的数x均满足题意，故

1

2

≤x≤ 

5

2

，②正确；

∫

e 1

(  ex-

2

x

)dx=ee-e-(2lne-2ln1)=e^e-e-2，③正确；
在△ABC中，由cos²A=cos²B，可得A=B，命题p 正确，q：y=

1

x

在定义城内是减函数，错误，由符合命题间的关系可判断④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查真假命题的判断与应用，解决的难点在于每个选项的内容相对独立，综合性较强，属于中档题．