Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．
（1）若点P（0，4）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
（2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由题意知：|AQ|=|AF，再依据A为PF的中点且点A在抛物线上，求得p值，从而得出抛物线方程；
（2）设A（x，y），y²=2px，根据题意：∠MAF为锐角根据向量的数量积得出：对x≥0都成立
令对x≥0都成立，下面分类讨论：（i）若，（ii）若，求得m的取值范围即可．
解答：解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，∵∠PQF=90°，
∴A为PF的中点，∵，
且点A在抛物线上，代入得⇒
所以抛物线方程为．（5分）
（2）设A（x，y），y²=2px，
根据题意：∠MAF为锐角且，
∵y²=2px，所以得对x≥0都成立
令
对x≥0都成立（9分）
（i）若，即时，只要使成立，
整理得：，且，
所以．（11分）
（ii）若，即，只要使成立，得m＞0
所以（13分）
由（i）（ii）得m的取值范围是且．（15分）
点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，同时考查了向量的数量积，考查了计算能力．