题目内容
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且
(1)求AC与PB所成的角的余弦值;
(2)求二面角P-AC-M的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在点N,使DN∥平面AMC,若存在,确定点N位置;若不存在,说明理由.

【答案】分析:方法一:(1)以A为坐标原点,AD,AB,AP方向为X,Y,Z轴正方向建立空间坐标系,分别求出直线AC与PB的言论自由向量,代入向量夹角公式,即可求出AC与PB所成的角的余弦值;
(2)分别求出平面PAD与平面ACM的方向向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角P-AC-M的余弦值;
(3)设
,根据DN∥平面AMC,则直线DN的方向向量与平面AMC的法向量垂直,数量积为0,我们可以构造出关于λ的方程,解方程求出λ的值,即可确定N点位置.
方法二:(1)过B作BE∥PA,且BE=PA,连接CE、AE,则∠CAE即为AC与PB所成的角,解三角形CAE,即可求出AC与PB所成的角的余弦值;
(2)取PC中点N连MN,则MN∥BC,进而MN⊥平面PAC.取AC中点H,连NH,MH,可证得∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角.解三角形MHN,即可求出二面角P-AC-M的余弦值;
(3)连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、FM,则DG∥FM,由三角形中位定理,可得DG∥FM,由线面平行的判定定理可得DG∥平面AMC,连DN,同理可证GN∥平面AMC,由面面平行的判定定理可得:平面DGN∥平面AMC,再由面面平行的性质定理即可得到DN∥平面AMC.
解答:
解:[方法一]
(1)如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),M(0,1,
),
∴
,
∴
.(4分)
(2)设平面AMC的一个法向量为
,∵
,
,
∴
.
令x=1,则y=-1,z=2,
∴
.
∵
,
,
∴
是平面PAC的一个法向量,
∴
.
∴二面角P-AC-M的余弦值为
.(8分)
(3)存在,N为PC中点.
设
,
则
.
依题意
,
∴
,∴
,即N为PC中点.(12分)
[方法二](1)如图,过B作BE∥PA,且BE=PA,
连接CE、AE,则∠CAE即为AC与PB所成的角,
由已知可得
,
,
∴
.(4分)
(2)取PC中点N连MN,则MN∥BC,
∴MN⊥平面PAC.
取AC中点H,连NH,MH,
则NH⊥AC,MH⊥AC,∴∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角.
由
,∴
,
∴
.(8分)
(3)存在,PC中点N即为所求.
连DB交AC于点F,
∵
,
∴
,
取PM中点G,连DG、FM,则DG∥FM,
又DG?平面AMC,FM?平面AMC,
∴DG∥平面AMC,
连DN,则GN∥MC,同理可证GN∥平面AMC,又GN∩DG=D,
∴平面DGN∥平面AMC,
∴DN∥平面AMC.(12分)
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角及直线与平面平行的判定,方法一(向量法)是关键是建立适当的空间坐标系,将空间直线与平面间的位置关系及夹角问题转化为向量的夹角问题,方法二(几何法)的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行及垂直的定义、判定、性质及几何特征,建立良好的空间想像能力.
(2)分别求出平面PAD与平面ACM的方向向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角P-AC-M的余弦值;
(3)设

方法二:(1)过B作BE∥PA,且BE=PA,连接CE、AE,则∠CAE即为AC与PB所成的角,解三角形CAE,即可求出AC与PB所成的角的余弦值;
(2)取PC中点N连MN,则MN∥BC,进而MN⊥平面PAC.取AC中点H,连NH,MH,可证得∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角.解三角形MHN,即可求出二面角P-AC-M的余弦值;
(3)连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、FM,则DG∥FM,由三角形中位定理,可得DG∥FM,由线面平行的判定定理可得DG∥平面AMC,连DN,同理可证GN∥平面AMC,由面面平行的判定定理可得:平面DGN∥平面AMC,再由面面平行的性质定理即可得到DN∥平面AMC.
解答:

(1)如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),M(0,1,

∴

∴

(2)设平面AMC的一个法向量为



∴

令x=1,则y=-1,z=2,
∴

∵


∴

∴

∴二面角P-AC-M的余弦值为

(3)存在,N为PC中点.
设

则

依题意

∴



[方法二](1)如图,过B作BE∥PA,且BE=PA,
连接CE、AE,则∠CAE即为AC与PB所成的角,
由已知可得


∴

(2)取PC中点N连MN,则MN∥BC,
∴MN⊥平面PAC.

取AC中点H,连NH,MH,
则NH⊥AC,MH⊥AC,∴∠MHN即为二面角P-AC-M的平面角.
由


∴

(3)存在,PC中点N即为所求.
连DB交AC于点F,
∵
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∴


取PM中点G,连DG、FM,则DG∥FM,
又DG?平面AMC,FM?平面AMC,
∴DG∥平面AMC,
连DN,则GN∥MC,同理可证GN∥平面AMC,又GN∩DG=D,
∴平面DGN∥平面AMC,
∴DN∥平面AMC.(12分)
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角及直线与平面平行的判定,方法一(向量法)是关键是建立适当的空间坐标系,将空间直线与平面间的位置关系及夹角问题转化为向量的夹角问题,方法二(几何法)的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行及垂直的定义、判定、性质及几何特征,建立良好的空间想像能力.
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