Question

已知向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(

2

-sinα，cosα)，α∈(-

π

2

，

π

2

)．
（I）若|

a

+

b

|=

3

+1，求a的值；
（II）若向量

c

=(

2

，sinα)，求(

a

-

c

)•

b

的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积的坐标运算与|

a

+

b

|=

3

+1，可求得sin（

π

4

-α）=

3

2

，再由α∈（-

π

2

，

π

2

）即可求得α的值；
（II）依题意，可求（

a

-

c

）•

b

=

2

（sinα+cosα）-sinαcosα，再换元，设sinα+cosα=t，可求得（

a

-

c

）•

b

=-

1

2

(t-

2

)2-

1

2

，t∈（-

2

2

，1]，从而可求（

a

-

c

）•

b

的最大值．

解答：解：（I）∵|

a

+

b

|2=(

2

+cosα-sinα)2+（sinα+cosα）²
=2+1+2

2

cosα-2

2

sinα-2sinαcosα+1+2sinαcosα
=4+2

2

（cosα-sinα）
=4+4sin（

π

4

-α），①
又|

a

+

b

|=

3

+1，
∴|

a

+

b

|2=4+2

3

，②
由①②知，4+4sin（

π

4

-α）=4+2

3

，
∴sin（

π

4

-α）=

3

2

，
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴

π

4

-α∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴

π

4

-α=

π

3

或

π

4

-α=

2π

3

，
∴α=-

5π

12

或-

π

12

．
（II）∵

a

-

c

=（cosα-

2

，0），

b

=（

2

-sinα，cosα），
∴（

a

-

c

）•

b

=（cosα-

2

）（

2

-sinα）=

2

（sinα+cosα）-sinαcosα-2，
设sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=t，则sinαcosα=

t2-1

2

，
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴

π

4

+α∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴sin（

π

4

+α）∈（-

2

2

，1]，则t∈（-1，

2

]．
∴（

a

-

c

）•

b

=

2

t-

t2-1

2

-2=-

1

2

(t-

2

)2-

1

2

，
∴t=

2

时，（

a

-

c

）•

b

取得最大值-

1

2

．

点评：本题考查向量的数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，考查换元思想与等价转化思想的综合应用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．