题目内容
【题目】设点,动圆
经过点
且和直线
相切,记动圆的圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点
的横坐标为
,过
的直线交
于另一点
,交
轴于点
,过点
作
的垂线交
于另一点
.若
是
的切线,求
的最小值.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据抛物线的定义,求出抛物线的解析式即可;(2)求出直线的方程,求出
的坐标,联立方程组,求出
的坐标,求出直线
的斜率,得到关于
的不等式,求出
的范围即可.
试题解析:(1)过点作直线
垂直于直线
于点
,由题意得
,
所以动点的轨迹是以
为焦点、直线
为准线的抛物线.
所以抛物线的方程为
.
(2)由题意知,过点的直线
斜率存在且不为0,设其为
.
则,当
,则
.
联立方程,整理得:
.
即: ,解得
或
.
∴,而
,∴直线
斜率为
.
∴
,
联立方程,
整理得: ,
即: ,
,
解得: ,或
.
∴
∴
.
而抛物线在点处切线斜率:
,
是抛物线的切线, ∴
,
整理得,
∴,解得
(舍去),或
,∴
.
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