题目内容

15．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=-2的距离之和等于7，则这样的直线（　　）
A．有无穷多条B．有且仅有一条C．有且仅有两条D．不存在

分析 分类讨论：当AB⊥x轴时，A，B两点到直线x=-2的距离之和等于6，舍去；当AB与x轴不垂直时，A，B两点到直线x=-2的距离之和等于xA+xB+4，再利用已知可得xA+xB=3＞2，即可判断出满足条件的直线条数．

解答 解：焦点F（1，0）．
当AB⊥x轴时，A，B两点到直线x=-2的距离之和等于6≠7，舍去；
当AB与x轴不垂直时，A，B两点到直线x=-2的距离之和等于xA+xB+4=7，则xA+xB=3＞2，因此有且只有2条直线满足条件．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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