题目内容

已知双曲线C的中心在原点,D(1,0)是它的一个顶点,数学公式=数学公式是它的一条渐近线的一个方向向量.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A,B两点 (A,B都不同于点D),求证:数学公式为定值;
(3)对于双曲线Γ:数学公式,E为它的右顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(都不同于点E),且EM⊥EN,那么直线MN是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明过程).
情形一:双曲线数学公式及它的左顶点;
情形二:抛物线y2=2px(p>0)及它的顶点;
情形三:椭圆数学公式及它的顶点.

解:(1)设双曲线C的方程为,则a=1,
,得,所以,双曲线C的方程为
(2)当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),,得=0.
当直线AB不与x轴垂直时,设此直线方程为y=k(x+3),由得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则

=
=++9k2+1=0.综上,=0为定值.
(3)当M,N满足EM⊥EN时,取M,N关于x轴的对称点M'、N',由对称性知EM'⊥EN',此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称,若直线MN过定点,则定点必在x轴上.
设直线MN的方程为:x=my+t,
,得(b2m2-a2)y2+2b2mty+b2(t2-a2)=0
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
由EM⊥EN,得(x1-a)(x2-a)+y1y2=0,(my1+t-a)(my2+t-a)+y1y2=0,

化简得,或t=a(舍),
所以,直线MN过定点(,0).
情形一:在双曲线Γ:中,若E'为它的左顶点,M,N为双曲线Γ上的两点(都不同于点E'),且E'M⊥E'N,则直线MN过定点(,0).
情形二:在抛物线y2=2px(p>0)中,若M,N为抛物线上的两点(都不同于原点O),且OM⊥ON,则直线MN过定点(2p,0).…..(16分)
情形三:(1)在椭圆中,若E为它的右顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点E),且EM⊥EN,则直线MN过定点(,0);
(2)在椭圆中,若E'为它的左顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点E'),且E'M⊥E'N,则直线MN过定点(,0);
(3)在椭圆中,若F为它的上顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点F),且FM⊥FN,则直线MN过定点(0,);
(4)在椭圆中,若F'为它的下顶点,M,N为椭圆上的两点(都不同于点F'),且F'M⊥F'N,则直线MN过定点(0,).
分析:(1)设双曲线C的方程为,由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值即得.
(2)设P(x1,y1),R(x2,y2),当直线l的斜率存在时,设设此直线方程为y=k(x+3),由得(2-k2)x2-6k2x-9k2-2=0,再由方程的根与系数关系及 为定值;当直线l的斜率不存在时,当直线AB垂直于x轴时,其方程为x=-3,A,B的坐标为(-3,4)、(-3,-4),代入可求;
(3)对于过定点问题,可先假设存在,即假设直线MN过定点,再利用设直线MN的方程为:x=my+t,联立方程组,利用垂直关系求直线MN过定点,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.最后运用类比推理写出类似结论.
点评:本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程,直线与双曲线的相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,向量的坐标表示的应用,属于直线与曲线位置关系的综合应用,属于综合性试题.
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