Question

已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：为定值；
（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线及它的左顶点；
情形二：抛物线y²=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆及它的顶点．

Answer 1

解：（1）设双曲线C的方程为，则a=1，
又，得，所以，双曲线C的方程为．
（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），，得=0．
当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
故
=．
=++9k²+1=0．综上，=0为定值．
（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．
设直线MN的方程为：x=my+t，
由，得（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²（t²-a²）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
由EM⊥EN，得（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，（my₁+t-a）（my₂+t-a）+y₁y₂=0，
即，，
化简得，或t=a（舍），
所以，直线MN过定点（，0）．
情形一：在双曲线Γ：中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）．
情形二：在抛物线y²=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）
情形三：（1）在椭圆中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN过定点（，0）；
（2）在椭圆中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）；
（3）在椭圆中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，）；
（4）在椭圆中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，）．
分析：（1）设双曲线C的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及a、b、c 的关系求出a、b的值即得．
（2）设P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由得（2-k²）x²-6k²x-9k²-2=0，再由方程的根与系数关系及 为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=-3，A，B的坐标为（-3，4）、（-3，-4），代入可求；
（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．