题目内容

10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b为常数），且有x=1的切线为y=$-\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

分析 （1）求处函数的导函数，利用在x=1处的切线为y=$-\frac{1}{2}$，可得f′（1）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$，计算即可求得函数f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）的导数，令导数大于0，解不等式即可得到递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
由f（x）在x=1的切线为y=$-\frac{1}{2}$，
则f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b=-$\frac{1}{2}$，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=0，
即有f（x）=x3-$\frac{3}{2}$x2；
（2）f（x）的导数为f′（x）=3x2-3x，
由f′（x）＞0可得x＞1或x＜0，
即有f（x）的增区间为（-∞，0），（1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，属于基础题．

练习册系列答案
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（4）若p＞1，且存在x1∈[2，e]，x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，求p的取值范围；
（5）若p＞1，且对任意x1∈[2，e]，存在x2∈[2，e]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，求p的取值范围．
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