Question

6．求数列{$\frac{n}{{3}^{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 直接利用错位相减法求数列的前n项和．

解答 解：S_n=$\frac{1}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+…+\frac{n}{{3}^{n}}$，①
则$\frac{1}{3}{S}_{n}=\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{n-1}{{3}^{n}}+\frac{n}{{3}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{2}{3}{S}_{n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{n}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{n}{{3}^{n+1}}$．
∴${S}_{n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$．

点评 本题考查了错位相减法求数列的和，考查了计算能力，是中档题．