题目内容

已知点A(2,0),B(2,1),C(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足
OM
AM
=k(
CM
BM
-d2)
,其中O为坐标原点,k为参数.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(Ⅱ)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
,求实数k的取值范围.
分析:(1)设M(x,y),利用题目中向量的坐标运算,求得向量的坐标后代入题中向量条件,化简即得轨迹方程,为了说明它是什么类型,必须对参数k进行讨论;
(2)依据圆锥曲线离心率的范围得曲线是椭圆,依据椭圆形式求得离心率的表达式,建立不等关系求实数k的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)设M(x,y),
OM
=(x,y),
AM
=(x-2,y),
CM
=(x,y-1),
BM
=(x-2,y-1)

d=|y-1|.(2分)
代入
OM
AM
=k(
CM
BM
-d2)

得(1-k2)x2+2(k-1)x+y2=0为所求轨迹方程(3分)
当k=1时,得y=0,轨迹为一条直线;(4分)
当k≠1时,得(x-1)2+
y2
1-k
=1

若k=0,则点M的轨迹为圆;(5分)
若k>1,则点M的轨迹为双曲线;(6分)
若0<k<1或k<0,则点M的轨迹为椭圆(7分)
(Ⅱ)因为
3
3
≤e≤
2
2

所以方程表示椭圆(9分)
对于方程(x-1)2+
y2
1-k
=1

①当0<k<1时,a2=1,b2=1-k,c2=a2-b2=1-(1-k)=k
此时e2=
c2
a2
=k
,而
3
3
≤e≤
2
2

所以
1
3
≤k≤
1
2
.
(11分)
②当k<0时,a2=1-k,b2=1,c2=-k
所以e2=
k
k-1
,即
1
3
k
k-1
1
2
.所以-1≤k≤-
1
2
.
(13分)
所以k∈[-1,-
1
2
]∪[
1
3
1
2
].
(14分)
点评:本题在向量与圆锥曲线交汇处命题,考查了向量的坐标和数量积运算、曲线方程的求法、椭圆的定义以及等价转化能力.
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