Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并证明之；
（3）求证f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

Answer 1

分析：（1）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令m=n=0求出f（0），然后令n=-m即可判定，
（2）根据函数单调性的定义进行判定单调性；
（3）先将f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

(n+1)(n+2)-1

）转化成f[

1 n+1 +( -1 n+2 )

1+( 1 n+1 )( -1 n+2 )

]，然后根据f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)进行化简，然后求和，即可证得结论．

解答：（1）解：令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0⇒f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）解：∵f(m)+f(n)=f(

m+n

1+mn

)，
当-1＜m＜n＜1时，

m-n

1-mn

＜0，由条件知f（

m-n

1-mn

）＞0，
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）证明：∵f(

1

n2+3n+1

)=f（

1

(n+1)(n+2)-1

）=f[

1 n+1 +( -1 n+2 )

1+( 1 n+1 )( -1 n+2 )

]
=f（

1

n+1

）+f（

-1

n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)
=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+…+f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）
∵0＜

1

n+2

＜1
∴f（

1

n+2

）＜0
∴f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f（

1

2

）
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数的奇偶性和单调性的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．