题目内容
【题目】设函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，证明f（x）≥ln（ae2）﹣2a（e为自然对数的底数）．
【答案】(1)见解析 (2)证明见解析
【解析】
（1）先求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，利用导数得到g（a）的最小值为g（1）＝0，所以g（a）≥0，即证得f（x）≥ln（ae2）﹣2a．
（1）f'（x）＝2ax+（1﹣2a）
，x＞0，
①当a≥0时，令f'（x）＞0得：x＞1；令f'（x）＜0得：0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），
②当a＜0时，若
1，即a
时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），
若
1即
a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，1），（
，+∞），单调递增区间为（1，），
若
1即a
时，f（x）的单调递减区间为（0，），（1，+∞），单调递增区间为（，1）；
（2）由（1）可知当a＞0时，f（x）的最小值为f（1）＝1﹣a，
令g（a）＝1﹣a﹣（lnae2﹣2a）＝a﹣1﹣lna，
∴g'（a）＝1
，
∴当a∈（0，1）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；
当a∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（a）的最小值为g（1）＝0，
∴g（a）≥0，
∴1﹣a≥lnae2﹣2a，
即f（x）≥ln（ae2）﹣2a．
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