Question

点P（x，y）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的任意一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且∠F₁PF₂≤90°，则该椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A．(0，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，1)
• C．（0，1）
• D．[

  2

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：由题设条件可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，此时 cos∠F₁PF₂=

a2+a2-(2c) 2

2a•a

=

a2-2c2

a2

≥0，得到a和c之间的关系，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．

解答：解：由题意可知，当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大，
此时 cos∠F₁PF₂=

a2+a2-(2c) 2

2a•a

=

a2-2c2

a2

≥0，∴a≥

2

c，
∴e=

c

a

≤

2

2

，
又∵0＜e＜1，
∴0＜e≤

2

2

．
故选A．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，难度不大，正确解题的关键是知道当点P位于（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大．同时要注意椭圆离心率的取值范围是（0，1）．