题目内容
（2013•松江区一模）已知z∈C，且满足|z|2+(z+
)i=5+2i．
（1）求z；
（2）若m∈R，w=zi+m，求证：|w|≥1．
. | z |
（1）求z；
（2）若m∈R，w=zi+m，求证：|w|≥1．
分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；
（2）利用复数模的计算公式即可证明．
（2）利用复数模的计算公式即可证明．
解答：解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则|z|2=a2+b2，(z+
)i=2ai，
由|z|2+(z+
)i=5+2i得a2+b2+2ai=5+2i
关键复数相等的定义可得
解得
或
．
∴z=1+2i或z=1-2i．
（2）当z=1+2i时，|w|=|zi+m|=|(1+2i)i+m|=|-2+i+m|=
≥1，
当z=1-2i时，|w|=|zi+m|=|(1-2i)i+m|=|2+i+m|=
≥1，
综上可得：|w|≥1．
. |
| z |
由|z|2+(z+
. |
| z |
关键复数相等的定义可得
|
解得
|
|
∴z=1+2i或z=1-2i．
（2）当z=1+2i时，|w|=|zi+m|=|(1+2i)i+m|=|-2+i+m|=
| (m-2)2+1 |
当z=1-2i时，|w|=|zi+m|=|(1-2i)i+m|=|2+i+m|=
| (m+2)2+1 |
综上可得：|w|≥1．
点评：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．
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