题目内容

（2013•松江区一模）定义变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点Q(
x
，
y
)．
若曲线C0：
x
4
+
y
2
=1(x≥0，y≥0)经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，依此类推，曲线Cn-1经变换T后得到曲线Cn，当n∈N*时，记曲线Cn与x、y轴正半轴的交点为An（an，0）和Bn（0，bn）．某同学研究后认为曲线Cn具有如下性质：
①对任意的n∈N*，曲线Cn都关于原点对称；
②对任意的n∈N*，曲线Cn恒过点（0，2）；
③对任意的n∈N*，曲线Cn均在矩形OAnDnBn（含边界）的内部，其中Dn的坐标为Dn（an，bn）；
④记矩形OAnDnBn的面积为Sn，则
lim
n→∞
Sn=1
其中所有正确结论的序号是
③④
③④
．
分析：曲线C0：
x
4
+
y
2
=1(x≥0，y≥0)利用T变换即可得出曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线C2…，即得到要求的图形的方程，
对四个命题逐一讨论，进而得到正确结论．
解答：解：由于C0：
x
4
+
y
2
=1(x≥0，y≥0)，
故曲线C0与x、y轴正半轴的交点为A（4，0）和B（0，2）．
由于变换T将平面内的点P（x，y）（x≥0，y≥0）变换到平面内的点Q(
x
，
y
)．
则由题意知a1=2，b1=
2
，an=
an-1
，bn=
bn-1

故an=a1 
1
2n-1
=4 
1
2n
，bn=b1 
1
2n-1
=2 
1
2n
 
则Cn：
x
4 
1
2n
+
y
2 
1
2n
=1(x≥0，y≥0)，
显然曲线Cn不关于原点对称；曲线Cn不过点（0，2）；
曲线Cn均在矩形OAnDnBn（含边界）的内部，其中Dn的坐标为Dn（an，bn）；
故①②错误，③正确．
记矩形OAnDnBn的面积为Sn，则Sn=4 
1
2n
×2 
1
2n

故
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
(4 
1
2n
×2 
1
2n
)=1，故④正确．
故答案为：③④
点评：熟练掌握变换的方法是解题的关键．
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1
2
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5
x
+
2
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2
2
．
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x2
5
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y2=4x
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2
+
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2n
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