题目内容

(2013•松江区一模)设f(x)是定义在R上的函数,对x∈R都有f(-x)=f(x),f(x)•f(x+2)=10,且当x∈[-2,0]时,f(x)=(
1
2
)x-1
,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根,则a的取值范围是(  )
分析:确定函数为周期函数,是定义在R上的偶函数,再将问题转化为函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6]上有三个不同的交点,即可求得结论.
解答:解:∵对于任意的x∈R,都有f(x)•f(x+2)=10,∴f(x+4)=
10
f(x+2)
=f(x)

∴函数f(x)是一个周期函数,且T=4.
∵对x∈R都有f(-x)=f(x),
∴函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∵当x∈[-2,0]时,f(x)=(
1
2
x-1,在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解,
∴函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6]上有三个不同的交点,如下图所示:

又f(-2)=f(2)=3,则有 loga4<3,且loga8>3,解得:
34
<a<2,
故a的取值范围是(
34
,2).
故选D.
点评:本题考查根的存在性及根的个数判断,指数函数与对数函数的图象与性质,其中根据方程的解与函数的零点之间的关系,将方程根的问题转化为函数零点问题,是解答本题的关键,属于中档题.
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