题目内容
（本题满分13分）
一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽
米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
(Ⅰ)建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧
的标准方程；
(Ⅱ)试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，
中垂线为
轴建立直角坐标系------1分
则
------2分
设抛物线的方程为
，将点
代入得
-------3分
所以抛物线弧AB方程为
（
） ------4分
（2）解法一：
设等腰梯形的腰与抛物线相切于
则过
的切线
的斜率为
所以切线的方程为：
，即
令
，得
， 令
，得
，
所以梯形面积
-----10分
当仅当
，即
时，
成立
此时下底边长为
-----12分
答：当梯形的下底边长等于
米时，挖出的土最少． -----13分
解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于
则过的切线的斜率为
所以切线的方程为：，即
运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：
-----10分
当仅当，即时，成立，此时下底边长为 ---12分
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少． -----------13分
解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为
米，则一腰过点
，可设此腰所在直线方程为
， 联立
，得
，
令
，得
，或
（舍），
故此腰所在直线方程为
，
令，得
，
故等腰梯形的面积：
------------10分
当且仅当
，即
时，有
此时，下底边长
------------12分
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少． ----------13分
习题精选系列答案
，
，
. 
，
； (2) 若
，求
的取值范围.
的三个内角
依次成等差数列．
，试判断
，求
中，
，
，
分别为内角
，
，
所对的边，且满足
．
，且
，
，求
的值．
展开式中，求：
平面ABCD，AD//BC//FE，AB
AD.
？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由.