Question

18．已知过点P（6，0）的动直线与抛物线y²=4x交于A，B两点，O为原点，点C满足$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{PC}$=-7，则线段AC长度的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先求出C的轨迹方程，再求出A与圆心的距离，即可求出线段AC长度的最小值．

解答 解：设C（x，y），则
∵$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{PC}$=-7，
∴（x，y）•（x-6，y）=-7，
∴x²-6x+y²=-7，
∴（x-3）²+y²=2
设A（a，b），则A与圆心的距离为$\sqrt{（a-3）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a-3）^{2}+4a}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+8}$≥2$\sqrt{2}$，
∴线段AC长度的最小值为2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段AC长度的最小值，考查圆的方程，确定C的轨迹方程是关键．