Question

已知O为坐标原点，点F的坐标为（1，0），点P是直线m：x=-1上一动点，
点M为PF的中点，点Q满足QM⊥PF，且QP⊥m．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点（2，0）的直线l与点Q的轨迹交于A、B两点，
且∠AFB=θ．试问角θ能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（I）设点Q（x，y），由已知得点Q在FP的中垂线上，（1分）
即|QP|=|QF|，（2分）
根据抛物线的定义知，动点Q在以F为焦点，以直线m为准线的抛物线上，（4分）
∴点Q的轨迹方程为y²=4x（x≠0）．（6分）
（注：没有写出x≠0扣1分）
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，点A坐标为，点B坐标为，
∵点F坐标为（1，0），可以推出∠AFB．（8分）
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y=k（x-2），它与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0（k≠0）．
得x₁x₂=4，y₁y₂=-8．（10分）
假定θ=p，则有cosθ=，
如图，即（*）
由定义得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
从而有|AF|²+|BF|²-|AB|²
=（x₁+1）²+（x₂+1）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²
=-2（x₁+x₂）-6．
∴|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5，（12分）
将上式代入（*）得，即x₁+x₂+1=0．
这与x₁＞0且x₂＞0相矛盾．
综上，θ角不能等于．（14分）
分析：（I）设点Q（x，y），由已知得|QP|=|QF|，根据抛物线的定义知，动点Q在以F为焦点，以直线m为准线的抛物线上，点Q的轨迹方程为y²=4x（x≠0）．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，点A坐标为，点B坐标为，可以推出∠AFB．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），它与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．由得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0（k≠0）．得x₁x₂=4，y₁y₂=-8．由此推出θ角不能等于．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时根据需要恰当地作出图形能够起到事半功倍的神奇效果．