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精英家教网如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，且M在第一象限，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先求出A，B两点坐标，代入函数解析式，可构造关于b，c的方程，解方程可得b，c的值，进而得到二次函数的解析式；
（2）根据圆心切线OM的距离等于半径构造方程，可求出切线的斜率，进而得到切线OM的函数解析式
（3）线段OM上存在一点P，此时所得三角形必要直角三角形，故过点A作AP1⊥x轴，与OM交于点P1，过点A作AP2⊥OM，垂足为P2，均满足要求．
解答：解：（1）∵圆心O1的坐标为（2，0），⊙O1半径为1，
∴A（1，0），B（3，0）…（1分）
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A，B，
∴可得方程组
-1+b+c=0
-9+3b+c=0
  …（2分）
解得：
b=4
c=-3

∴二次函数解析式为y=-x2+4x-3        …（4分）
（2）由题意易知所求直线的斜率存在且大于0，
设切线OM为y=kx，（k＞0）
由点到直线的距离d=r，可得
|2k|
k2+1
=1                   …（6分）
解得k=
3
3
或k=-
3
3
（舍去）
∴切线OM的函数解析式为y=
3
3
x…（8分）
（3）存在．
①过点A作AP1⊥x轴，与OM交于点P1．
可得Rt△AP1O∽Rt△MO1O
则由
y=
3
3
x
x=1
，解得
y=
3
3
x=1

∴点P1的坐标为（1，
3
3
）          …（11分）
②过点A作AP2⊥OM，垂足为P2，可得Rt△AP2O∽Rt△O1MO
则由
y=
3
3
x
y=
-1
kOM
(x-1)
，解得
y=
3
4
x=
3
4

∴P2点的坐标为（
3
4
，
3
4
）
∴符合条件的P点坐标有（1，
3
3
），（
3
4
，
3
4
）          …（14分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的解析式，直线与圆的位置关系，三角形相似，直线的交点等问题，是解析几何的综合应用，难度不大，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．
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（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

如图，已知半径为1的⊙O1与轴交于两点，为⊙O1的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线的函数解析式；

（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．
如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
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（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

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