Question

如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积，由于|AC|=d为定长，当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，由此能求出四边形ABCD面积的最大值．
（2）由题意，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，由此能求出四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大；类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大；以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”
解答：解：（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积，
而由于|AC|=d为定长，
则当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，
故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr．
（2）由题意，不难发现，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为（a＞b＞0），平行弦MN的方程为y=kx+m，
联立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0⇒（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则
=
=
=
由于平行弦的斜率k保持不变，故可知当且仅当m=0时，即当直线经过原点时，
|MN|取得最大值（*）．特别地，当斜率不存在时，此结论也成立．
由以上结论可知，类比猜想一正确．又对于椭圆内任意一点P构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心O重合的椭圆内接四边形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有．即证明了猜想二也是正确的．
类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．
要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”在此基础上，可参考以下两种续证方法．
证法一：当点P在椭圆中心时，不妨设对角线AC所在直线的斜率为k．
（i）当k=0时，AC即为椭圆长轴，又AC⊥BD，故BD是椭圆的短轴．
所以此时椭圆内接四边形ABCD的面积为S_ABCD=2ab．
（ii）当k≠0时，对角线BD的斜率为．由此前证明过程中的（*）可知，，
若将代换式中的k，则可得弦BD的长度，．
所以，
=
=
=
=
由k²+1＞1⇒⇒，
则，
综上（i）和（ii），故可证明猜想三正确．
证法二：如图，四边形对角线交点P与椭圆中心重合．

由对称性，不妨设椭圆上的点A的坐标为（acosα，bsinα），；
相邻的点B坐标为（acosβ，bsinβ），．由对称性可知，
且当时，S_ABCD取得最大值2ab．
又因为OA⊥OB，故．
由，
所以
故只有当sin2α=0时才满足，
而因为，
故只有当α=0时成立．即由椭圆参数方程的定义，当且仅当点A和点B分别落在椭圆长轴和短轴顶点上时，猜想3正确．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行类比猜想．