题目内容

8.数列{an}满足a1=3,${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$(n∈N*),则a2=$\frac{3}{16}$.an=$\frac{3}{15n-14}$.

分析 将${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$(n∈N*),两边取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5,得出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列,先求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式,再求a2,an

解答 解:将${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{5{a_n}+1}}$(n∈N*),两边取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=5,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列,$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$+(n-1)×5=$\frac{15n-14}{3}$,
an=$\frac{3}{15n-14}$,
可得a2=$\frac{3}{16}$,an=$\frac{3}{15n-14}$
故答案为:$\frac{3}{16};\frac{3}{15n-14}$.

点评 本题考查数列的递推关系式的应用,等差数列的判定、通项公式求解.考查转化构造、计算能力.

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