题目内容
【题目】如图:已知正方形的边长为
,沿着对角线
将
折起,使
到达
的位置,且
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若是
的中点,点
在线段
上,且满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的判定定理证明平面
,得出
为平面
的平面角,由勾股定理证明
,即可证明平面
平面
;
(2) 建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.
解:(1)取的中点
,连接
∵且
为
的中点,∴
;同理,
.
,
平面
∴平面
,则有
为平面
的平面角,
又∵在中,
,则有
∴,
∴平面平面
.
(2)由(1)可知,平面
,则有
,
,又
,则以
为原点,
所在直线为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系.
则有,,∴
,
∵是
的中点,∴M
,又设
,则
,
则点的坐标为
,∴
.
设平面的一个法向量为
,则有
,
∴取,
∵直线与平面
所成角的正弦值为
,
,解得
,
故
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