题目内容

在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是侧棱PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是
5
5
分析:先作出二面角的平面角,即取BC中点D,可证明∠ADP就是侧面与底面所成的二面角的平面角,再利用截面AMN⊥侧面PBC的特点,证明△PAD是等腰三角形,从而沟通了侧棱长和底面边长间的关系,最后在直角三角形中计算tan∠ADO即可
解答:解:如图,取MN中点O,连接AO,PO,延长PO交BC于点D,连接
AD,则BD=DC
∵三棱锥P-ABC为正三棱锥
∴AM=AN
∴AO⊥MN
∵截面AMN⊥侧面PBC
∴AO⊥侧面PBC
∴AO⊥PD,又PO=OD
∴PA=AD,且∠ADO就是侧面与底面所成的二面角的平面角
设AB=a,则AD=
3
2
a=PA
∵PD=
(
3
a
2
)
2
-(
a
2
)
2
=
2
2
a

∴OD=
2
4
a
∴AO=
(
3
a
2
)
2
-(
2
a
4
)
2
=
10
4
a

在Rt△AOD中,tan∠ADO=
AO
OD
=
10
4
a
2
4
a
=
5

∴三棱锥的侧面与底面所成的角的正切值是
5

故答案为
5
点评:本题考查了正三棱锥的性质,二面角的求法和面面垂直的性质,解题时要有空间想象力,要能恰当的沟通未知量之间的关系,能够用转化的思想方法将空间问题化为平面问题
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