题目内容

设
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），f（x）=
a
•
b
，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[0，
π
2
]，求x的值；
（2）若函数g（x）=cos(ωx-
π
3
)+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（
π
6
，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．
分析：（1）由已知根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，结合已知x的范围可求满足f（x）=0的x
（2）由（1）中函数的解析式，及g（
π
6
）=2可求k，结合余弦型函数的值域及单调性，可求出函数g（x）的值域单调递增区间
解答：解：（1）f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=2sin(2x+
π
6
)+1…（3分）
由f（x）=0得2sin(2x+
π
6
)+1=0
∴sin(2x+
π
6
)=-
1
2

∵x∈[0，
π
2
]∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴2x+
π
6
=
7π
6

∴x=
π
2
…（6分）
（2）由（1）知T=π∴ω=
2π
π
=2…（8分）g(
π
6
)=cos(
π
3
-
π
3
)+k=2∴k=1…（10分）
∴g（x）=cos(2x-
π
3
)+1cos(2x-
π
3
)∈[-1，1]
∴g（x）的值域为[0，2]，单调递增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈z)．…（12分）
点评：本题考查向量数量积的运算律、二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用、正弦函数及余弦函数的性质的考查
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=-
1
2
，且a=
3
，b+c=3，（b＞c），求b与c的值．
（2011•淄博二模）设
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），f（x）=
a
•
b
，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x的值．
（2）若函数g（x）=cos（ωx-
π
3
）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（
π
6
，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．
设
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），f（x）=
a
•
b
，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[0，
π
2
]，求x的值；
（2）若函数g（x）=cos(ωx-
π
3
)+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（
π
6
，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．
设
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，
3
sin2x），f（x）=
a
•
b
，x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x的值．
（2）若函数g（x）=cos（ωx-
π
3
）+k（ω＞0，k∈R）与f（x）的最小正周期相同，且g（x）的图象过点（
π
6
，2），求函数g（x）的值域及单调递增区间．

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