题目内容
(本题满分14分) 已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足(是坐标原点),,若椭圆的离心率等于.
(Ⅰ)求直线AB的方程;
(Ⅱ)若三角形ABF2的面积等于4,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M,使得三角形MAB的面积等于8.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于
【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解,以及椭圆方程的求解和三角形面颊的综合运用。
(1)根据已知的向量关系,直线过原点,并且向量的垂直关系可以得到点A的坐标,然后将点A的坐标代入椭圆方程中可知得到直线的方程。
(2)连结AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知,参数a,bc的关系式,进而得到椭圆的方程。
(3)由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为d,则应有
利用三角形的面积公式得到。
解:(Ⅰ)由知,直线AB经过原点,又由知,因为椭圆的离心率等于……2分
设A(),由知
∴A(),代入椭圆方程得 ∴A(),故直线AB的斜率
因此直线AB的方程为……………4分
(Ⅱ)连结AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知
,所以……………6分
又由解得 故椭圆方程为……………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为,则应有
∴……………10分
与AB平行且距离为4的直线为
消去x得 ……………13分
此方程无解故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分
另解:设点P(4)为椭圆上任意一点
则P到直线的距离为
……………13分
故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分