题目内容

(本小题满分12分)已知函数为常数)。
(Ⅰ)函数的图象在点()处的切线与函数的图象相切,求实数的值;
(Ⅱ)设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数,都有
成立,求的取值范围。

(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)

解析试题分析:(Ⅰ)因为,所以,因此
所以函数的图象在点()处的切线方程为,               ……1分

,得.                                    ……3分
(Ⅱ)因为
所以
由题意知上有解,
因为,设,因为
则只要,解得
所以b的取值范围是.                                              ……6分
(Ⅲ)不妨设
因为函数在区间[1,2]上是增函数,所以
函数图象的对称轴为,且
(i)当时,函数在区间[1,2]上是减函数,所以
所以等价于


等价于在区间[1,2]上是增函数,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
所以,又
所以.                                                             ……8分
(ii)当时,函数在区间[1, b]上是减函数,在上为增函数。
① 当时,
等价于
等价于在区间[1,b]上是增函数,
等价于在区间[1,b]上恒成立,
等价于在区间[1,b]上恒成立,
所以,又,所以
②当时,
等价于
等价于在区间[b,2]上是增函数,[来源:Z*xx*k.Com]
等价于在区间[b,2]上恒成立,
等价于在区间[b,2]上恒成立,
所以,故
③当时,
图像的对称性知,
只要

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