Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，点M在PD上．

（1）求证：AB⊥PC
（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，设E为BC的中点，连结AE，

则AD=EC，AD∥EC，AD∥EC，所以四边形AECD为平行四边形，

故AE⊥BC，又AE=BE=EC=2 ，

所以∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，

且PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC．

（2）解：如图，以A为原点，分别以射线AE、AD、AP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），E（2 ，0，0），B（2 ，﹣2 ，0），C（2 ，2 ，0），D（0，2 ，0），P（0，0，2），

设 =λ =（0，2 ，﹣2λ），（0≤λ≤1），解得M（0，2 ，2﹣2λ）

设平面AMC的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，

令y= ，得 ，即

又平面ACD的一个法向量为 ，

由题知 = ，

解得 ．

∴ 的值为

【解析】（1）设E为BC的中点，连结AE，推导出四边形AECD为平行四边形，AB⊥AC，AB⊥PA，由此能证明AB⊥PC．（2）以A为原点，分别以射线AE、AD、AP为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出 的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．