题目内容
.(本小题满分12分)
已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1、F2,设它们在第一象限的交点为P,且
(1)求椭圆的方程;
(2)已知N(0,-1),对于(1)中的椭圆,是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,点Q满足?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
已知椭圆与双曲线有共同的焦点F1、F2,设它们在第一象限的交点为P,且
(1)求椭圆的方程;
(2)已知N(0,-1),对于(1)中的椭圆,是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,点Q满足?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。
解:(1)焦点F1、F2的坐标分别为、
由双曲线和椭圆的定义,得
解得 2分
即 解得 4分
从而 故椭圆的方程为 6分
(2)设直线的方程为
由方程组
消去得
直线与椭圆交于不同两点
即① 8分
则
由,得Q为线段AB的中点,
则
即 化简得 10分
代入①得解得 11分
又由
所以,直线在轴上的截距的取值范围是 12分
由双曲线和椭圆的定义,得
解得 2分
即 解得 4分
从而 故椭圆的方程为 6分
(2)设直线的方程为
由方程组
消去得
直线与椭圆交于不同两点
即① 8分
则
由,得Q为线段AB的中点,
则
即 化简得 10分
代入①得解得 11分
又由
所以,直线在轴上的截距的取值范围是 12分
略
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