题目内容
当x1≠x2时，有f（
）＜
，则称函数f（x）是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是（ ）
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
分析：先求出f（
）的解析式以及
的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断f（
）和
的大小关系，再根据“严格下凸函数”的定义域，
得出结论．
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
得出结论．
解答：解：A、对于函数y=f（x）=x，当x1≠x2时，有f（
）=
，
=
，
f（
）=
，故不是严格下凸函数．
B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2 ＞0时，f（
）=|
|=
，
=
=
，
f（
）=
，故不是严格下凸函数．
C、对于函数 y=f（x）=x2，当x1≠x2时，有f（
）=(
)2=
，
=
，显然满足f（
）＜
，故是严格下凸函数．
D、对于函数y=f（x）=log2x，f（
）=log2
，
=
(log2x1+log2x2)=log2
，
f（
）＞
，故不是严格下凸函数．
故选C．
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
f（
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
B、对于函数y=f（x）=|x|，当x1≠x2 ＞0时，f（
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| |x1|+|x2| |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
f（
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
C、对于函数 y=f（x）=x2，当x1≠x2时，有f（
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| x12+2x1x2+x22 |
| 4 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x12 +x22 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
D、对于函数y=f（x）=log2x，f（
| x1+x2 |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x1•x2 |
f（
| x1+x2 |
| 2 |
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
故选C．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，“严格下凸函数”的定义，属于中档题．
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下列命题中正确的命题是（ ）
| A、若存在x1，x2∈[a，b]，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），则说函数y=f（x）在区间[a，b]上是增函数 | ||
| B、若存在xi∈[a，b]（1≤i≤n，n≥2，i、n∈N*），当x1＜x2＜x3＜…＜xn时，有f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜…＜f（xn），则说函数y=f（x）在区间[a，b]上是增函数 | ||
| C、函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若对任意的x＞0，都有f（x）＜f（0），则函数y=f（x）在[0，+∞）上一定是减函数 | ||
D、若对任意x1，x2∈[a，b]，当x1≠x2时，有
|