Question

设函数f（x）的定义域为正实数集，且满足条件f（4）=1，对任意x₁，x₂属于正实数，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且当x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令x₁=x₂=1可求出f（1）的值；
（2）根据f（4）=1可得f（16）=2，从而将f（x+6）＜2转化成f（x+6）＜f（16），然后函数的单调性和定义域建立关系，解之即可．

解答：解：（1）∵对任意x₁，x₂属于正实数，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴令x₁=x₂=1得f（1）=f（1）+f（1）即f（1）=0
（2）∵f（4）=1
∴2=f（4）+f（4）=f（16）
则f（x+6）＜2=f（16）
∵当x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
而函数f（x）的定义域为正实数集
则

x+6＜16 x+6＞0

解得-6＜x＜10
∴x的取值范围为：-6＜x＜10

点评：本题主要考查了抽象函数求值，以及利用抽象函数的单调性解不等式，同时考查了转化的思想，属于中档题．