题目内容
已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实根.现有四个命题①若a>0,则不等式f[f(x)]>x对一切x∈R成立;
②若a<0,则必存在实数x使不等式f[f(x)]>x成立;
③方程f[f(x)]=x一定没有实数根;
④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]<x对一切x∈R成立.
其中真命题的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】分析:利用二次函数的图象和性质分别判断f[f(x)]与x的关系.
解答:解:方程f(x)=x无实根,∴f(x)-x>0或f(x)-x<0.
∵a>0,∴f(x)-x>0对一切x∈R成立,
∴f(x)>x,用f(x)代入,
∴f[f(x)]>f(x)>x,∴命题①正确;
同理若a<0,则有f[f(x)]<x,∴命题②错误;命题③正确;
∵a+b+c=0,∴f(1)-1<0,
∴必然归为a<0,有f[f(x)]<x,∴命题④正确.
故选C.
点评:本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用,综合性较强,难度较大.
解答:解:方程f(x)=x无实根,∴f(x)-x>0或f(x)-x<0.
∵a>0,∴f(x)-x>0对一切x∈R成立,
∴f(x)>x,用f(x)代入,
∴f[f(x)]>f(x)>x,∴命题①正确;
同理若a<0,则有f[f(x)]<x,∴命题②错误;命题③正确;
∵a+b+c=0,∴f(1)-1<0,
∴必然归为a<0,有f[f(x)]<x,∴命题④正确.
故选C.
点评:本题主要考查了二次函数的性质以及二次不等式的应用,综合性较强,难度较大.
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