Question

【题目】已知曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，正三角形的顶点都在上，且按逆时针次序排列，点的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的直角坐标方程及点的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；点的直角坐标为，，（2）

【解析】

（1）整理曲线的极坐标方程为,根据即可求得曲线的直角坐标方程；由题可知,根据点的极坐标为,由按逆时针次序排列可得点的极坐标为,点的极坐标为,进而求解即可；

（2）由（1）可得曲线的参数方程为（为参数）,设,则（为参数）,先求得的坐标表示,即可求得,再根据求解即可.

解:（1）曲线的极坐标方程是,即,

∵,

∴直角坐标方程为,即.

∵正三角形的顶点都在上,且按逆时针次序排列,

设极点为,则,

∴点的极坐标为,,,

∴点的直角坐标为,,,

即,,.

（2）由（1）可得曲线的参数方程为（为参数）,

设,则（为参数）,

则,

∴

,

,

的取值范围为.