题目内容
【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且PA=AD=DB= ,AB=1,M是PB的中点.
(1)证明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成的角;
(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小.
【答案】
(1)证明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂线定理得:CD⊥PD.
因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD,∴面PAD⊥面PCD
(2)解:过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角.
连接AE,可知AC=CB=BE=AE= ,
又AB=2,所以四边形ACBE为正方形.
由PA⊥面ABCD,得∠PEB=90°
在Rt△PEB中,BE=a2=3b2,PB= ,
∴cos∠PBE= =
.
∴AC与PB所成的角为arccos
(3)证明:作AN⊥CM,垂足为N,连接BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC,
由三垂线定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,ANMC= AC,
∴AN= .∴AB=2,
∴cos∠ANB= =﹣
,
故平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为arccos(﹣ ).
【解析】(1)由三垂线定理得CD⊥PD,从而CD⊥面PAD,再由CD面PCD,能证明面PAD⊥面PCD. (2)过点B作BE∥CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角. 连接AE,推导出四边形ACBE为正方形,由此能求出AC与PB所成的角.(3)作AN⊥CM,垂足为N,连接BN,则∠ANB为所求二面角的平面角,由此能求出平面AMC与平面BMC所成二面角的大小.
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,以及对平面与平面垂直的判定的理解,了解一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)