题目内容
已知函数,其中
且m为常数.
(1)试判断当时函数
在区间
上的单调性,并证明;
(2)设函数在
处取得极值,求
的值,并讨论函数
的单调性.
(1)在区间上为增函数,证明见解析;(2)
,
在
上单调递减,在
单调递增.
解析试题分析:(1)首先求导函数,然后根据区间判断
的符号即可证明;(2)利用函数的极值点是导函数
的零点通过建立方程可求得
的值,然后再通过判断
的符号确定单调区间.
(1)当时,
,求导数得:
.
∵当时,
,∴
,
∴当时函数
在区间
上为增函数.
(2)求导数得:.
由是
的极值点得
,∴
.
于是,定义域为
,
,
显然函数在
上单调递增,且
,
因此当时,
;
时,
,
所以在
上单调递减,在
单调递增.
考点:1、导数的几何意义;2、导数与函数单调性的关系;3、利用导数研究函数的极值.

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