Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，其中ω是使f（x）能在x=

π

3

处取得最大值时的最小正整数．（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的余弦、正弦函数以及二倍角公式公式，化简函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

为：f（x）=2sin(ωx-

π

6

)-1，然后利用在x=

π

3

处取得最大值，求出最小正整数ω的值．
（Ⅱ）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，利用余弦定理、基本不等式求出a=c，推出θ的范围，利用三角函数的有界性，求f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-(1+cosωx)=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)-1=2sin(ωx-

π

6

)-1
由题意得ω

π

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，得ω=6k+2，k∈Z
当k=0时，最小正整数ω的值为2，故ω=2．
（Ⅱ）因b²=ac且b²=a²+c²-2accosθ
则2cosθ+1=

a

c

+

c

a

≥2当且仅当

a

c

=

c

a

，a=c时，等号成立
则cosθ≥

1

2

，又因θ∈（0，π），则0＜θ≤

π

3

，即A={x|0＜x≤

π

3

}
由①知：f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1
因0＜x≤

π

3

，则-

π

6

＜2x-

π

6

≤

π

2

，-

1

2

＜sin(4x-

π

6

)≤1-2＜f（x）≤1，
故函数f（x）的值域为：（-2，1]．

点评：本题是基础题，考查两角和与差的正弦函数、余弦函数以及二倍角的应用，函数的性质，最值的求法，处理相关的多个问题时，前一问的解答是后边解答的依据，考查学生的细心程度，计算能力．