题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数在
有两个零点,求m的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)首先求出函数的导函数因式分解为,再对参数
分类讨论可得;
(2)依题意可得,当
函数在定义域上单调递增,不满足条件;
当时,由(1)得
在
为增函数,因为
,
.再对
,
,
三种情况讨论可得.
解:(1)因为,所以
,
即.
由,得
,
.
①当时,
,当且仅当
时,等号成立.
故在
为增函数.
②当时,
,
由得
或
,由
得
;
所以在
,
为增函数,在
为减函数.
③当时,
,
由得
或
,由
得
;
所以在
,
为增函数,在
为减函数.
综上,当时,
在为
增函数;
当时,
在
,
为增函数,在
为减函数;
当时,
在
,
为增函数,在
为减函数.
(2)因为,所以
,
①当时,
,
在
为增函数,所以
在
至多一个零点.
②当时,由(1)得
在
为增函数.
因为,
.
(ⅰ)当时,
,
时,
,
时,
;
所以在
为减函数,在
为增函数,
.
故在
有且只有一个零点.
(ⅱ)当时,
,
,
,使得
,
且在
为减函数,在
为增函数.
所以,又
,
根据零点存在性定理,在
有且只有一个零点.
又在
上有且只有一个零点0.
故当时,
在
有两个零点.
(ⅲ)当时,
,
,
,使得
,
且在
为减函数,在
为增函数.
因为在
有且只有一个零点0,
若在
有两个零点,则
在
有且只有一个零点.
又,所以
即
,所以
,
即当时
在
有两个零点.
综上,m的取值范围为
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