题目内容
已知A,B是抛物线x2=2py(p>0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA |
OB |
OA |
OB |
OA |
OB |
(Ⅰ)求证:直线AB经过一定点;
(Ⅱ)当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
2
| ||
5 |
分析:(Ⅰ)欲证直线经过定点,只需找到直线方程,在验证不管参数为何值都过某一定点即可,可根据|
+
|=|
-
|判断直线OA,OB垂直,设AB方程,根据OA,OB垂直消去一些参数,再进行判断.
(Ⅱ)设AB中点的坐标根据OA,OB垂直,可得AB中点坐标满足的关系式,再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的,求出最小值,让其等于
,解参数p即可.
OA |
OB |
OA |
OB |
(Ⅱ)设AB中点的坐标根据OA,OB垂直,可得AB中点坐标满足的关系式,再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的,求出最小值,让其等于
2
| ||
5 |
解答:解:(Ⅰ)∵ |
+
|=|
-
|,
∴OA⊥OB.设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)则 x12=2py1,x22=2py2.
经过A,B两点的直线方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
由y1=
y2=
,得(x2-x1)(y-y1)=(
-
)(x-x1).
∵x1≠
∴y-y1=
(x-x1).令x=0,得y-y1=
(-x1),
∴y=-
(*)
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0,从而x1x2+
=0.
∵x1x2≠0(否则,
,
有一个为零向量),
∴x1x2=-4p2.代入(*),得 y=2p,
∴AB始终经过定点(0,2p).
(Ⅱ)设AB中点的坐标为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y,
∴x12+x22=2py1+2py2=2p(y1+y2).
又∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+x2)2+8p2,
∴4x2+8p2=4py,
即 y=
x2+2p.…①
AB的中点到直线y-2x=0的距离d=
.
将①代入,得d=
=
=
.
因为d的最小值为
,
∴
=
,
∴p=2.
OA |
OB |
OA |
OB |
∴OA⊥OB.设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)则 x12=2py1,x22=2py2.
经过A,B两点的直线方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
由y1=
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2p |
, |
| ||
2p |
| ||
2p |
| ||
2p |
∵x1≠
x2 |
x2+x1 |
2p |
x2+x1 |
2p |
∴y=-
x1x2 |
2p |
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0,从而x1x2+
x12x22 |
4p2 |
∵x1x2≠0(否则,
OA |
OB |
∴x1x2=-4p2.代入(*),得 y=2p,
∴AB始终经过定点(0,2p).
(Ⅱ)设AB中点的坐标为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y,
∴x12+x22=2py1+2py2=2p(y1+y2).
又∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(x1+x2)2+8p2,
∴4x2+8p2=4py,
即 y=
1 |
p |
AB的中点到直线y-2x=0的距离d=
|y-2x| | ||
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将①代入,得d=
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因为d的最小值为
2
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5 |
∴
p | ||
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2
| ||
5 |
∴p=2.
点评:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断,注意韦达定理的应用.
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