题目内容

已知A,B是抛物线x2=2py(p>0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量
OA
 
OB
满足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|

(Ⅰ)求证:直线AB经过一定点;
(Ⅱ)当AB的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为
2
5
5
时,求p的值.
分析:(Ⅰ)欲证直线经过定点,只需找到直线方程,在验证不管参数为何值都过某一定点即可,可根据|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
判断直线OA,OB垂直,设AB方程,根据OA,OB垂直消去一些参数,再进行判断.
(Ⅱ)设AB中点的坐标根据OA,OB垂直,可得AB中点坐标满足的关系式,再用点到直线的距离公式求AB的中点到直线y-2x=0的距离的,求出最小值,让其等于
2
5
5
,解参数p即可.
解答:解:(Ⅰ)∵  |
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|

∴OA⊥OB.设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2)则 x12=2py1,x22=2py2
经过A,B两点的直线方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
y1=
x
2
1
2p
 
 
y2=
x
2
2
2p
,得(x2-x1)(y-y1)=(
x
2
2
2p
-
x
2
1
2p
)(x-x1)

x1
x2
 
 
∴y-y1=
x2+x1
2p
(x-x1)
.令x=0,得y-y1=
x2+x1
2p
(-x1)

y=-
x1x2
2p
(*)
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0,从而x1x2+
x12x22
4p2
=0

∵x1x2≠0(否则,
OA
OB
有一个为零向量),
∴x1x2=-4p2.代入(*),得 y=2p,
∴AB始终经过定点(0,2p).
(Ⅱ)设AB中点的坐标为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y,
∴x12+x22=2py1+2py2=2p(y1+y2).
又∵x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(x1+x22+8p2
∴4x2+8p2=4py,
即 y=
1
p
x2+2p
.…①
AB的中点到直线y-2x=0的距离d=
|y-2x|
5

将①代入,得d=
|
1
p
x2+2p-2x|
5
=
|
1
p
(x-p)2+p|
5
=
1
p
(x-p)2+p
5

因为d的最小值为
2
5
5

p
5
=
2
5
5

∴p=2.
点评:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的判断,注意韦达定理的应用.
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