Question

已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差数列，则

a3+a10

a1+a8

=

3+2

2

．

Answer 1

分析：由已知的a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的通项公式化简后，根据首项不为0，两边同时除以首项得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值，然后将所求的式子利用等比数列的通项公式化简后，将q的值代入即可求出值．

解答：解：∵a₁，

1

2

a₃，2a₂成等差数列，
∴a₃=a₁+2a₂，又数列{a_n}为等比数列，
∴a₁q²=a₁+2a₁q，
∵等比数列{a_n}中，各项都是正数，
∴a₁＞0，q＞0，
∴q²-2q-1=0，
解得：q=

2±2 2

2

=1±

2

，
∴q=1+

2

，q=1-

2

（小于0舍去），
则

a3+a10

a1+a8

=

a1q2+a1q9

a1+a1q7

=

q2+q9

1 +q7

=

q2(1+q7)

1 +q7

=q²=（1+

2

）²=3+2

2

．
故答案为：3+2

2

点评：此题考查了等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．