Question

已知幂函数f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是偶函数且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由幂指数大于0求解正数k的值，代入幂指数验证是否为偶数得答案；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），由二次函数的对称轴与区间[-1，1]的关系列式求解m的范围．

解答：解：（1）∵幂函数f（x）=x^{（2k-1）（3-k）}（k∈z）是（0，+∞）上为增函数，
∴（2k-1）（3-k）＞0，解得

1

2

＜k＜3．
∵k∈z，
∴k=1或k=2．
当k=1时，（2k-1）（3-k）=2，满足函数f（x）为偶函数，
当k=2时，（2k-1）（3-k）=3，不满足函数f（x）为偶函数．
∴k=1，则f（x）=x²；
（2）∵f（x）=x²，
∴g（x）=f（x）-mx=x²-mx．
对称轴方程为x=

m

2

．
要使函数g（x）在x∈[-1，1]时为单调函数，则

m

2

≤-1或

m

2

≥1，
解得m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了幂函数的图象与其指数之间的关系，考查了二次函数单调区间的求法，关键是熟记幂函数的概念及其性质，是中低档题．