Question

16．已知圆O：x²+y²=1及点A（2，0），点P（x₀，y₀）（y₀≠0）是圆O上的动点，若∠OPA＜60°，则x₀的取值范围是（-1，$\frac{3-\sqrt{13}}{8}$）．

Answer 1

分析 考虑当∠OPA=60°时，x₀的取值，即可得出结论．

解答 解：当∠OPA=60°时，设AP=x，则
由余弦定理可得4=1+x²+2×$1×x×\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，
∴S_△OPA=$\frac{1}{2}×1×$$\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$=$\frac{-1+\sqrt{13}}{4}$．
由等面积可得|y₀|=$\frac{-1+\sqrt{13}}{4}$，
∴x₀=$\frac{3-\sqrt{13}}{8}$（正数舍去），
∵∠OPA＜60°，
∴x₀的取值范围是（-1，$\frac{3-\sqrt{13}}{8}$）．
故答案为：（-1，$\frac{3-\sqrt{13}}{8}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．