题目内容
已知函数
（
）.
（1）证明：当
时，
在
上是减函数，在
上是增函数，并写出当
时
的单调区间；
（2）已知函数
，函数
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
（1）证明详见解析，
在
是减函数，在
是增函数；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）根据函数单调性的定义进行证明即①设
；②作差：
；③因式分解到最简
；④根据条件判定符号；⑤作出结论，经过这五步即可证明
在
单调递减，同理可证
在
是增函数，最后由奇函数的性质得出；在是减函数，在是增函数；（2）先将“对任意
，总存在
，使得
成立”转化为“函数
在区间
的值域包含了
在区间的值域”，分别根据函数的单调性求出这两个函数的值域，最后由集合的包含关系即可得到
的取值范围.
试题解析：（1）证明：当
时
①设
是区间
上的任意两个实数，且
，则
∵
，∴
，
∴
，即
∴
在是减函数 4分
②同理可证在是增函数 5分
综上所述得：当
时， 
在
是减函数，在
是增函数 6分
∵函数
是奇函数，根据奇函数图像的性质可得
当
时，在是减函数，在是增函数 8分
（2）∵ 
（
） 8分
由（1）知：
在
单调递减，
单调递增
∴
，
10分
又∵
在
单调递减
∴由题意知：
于是有：
，解得 12分.
考点：1.函数的单调性与最值；2.函数的奇偶性；3.函数的值域.
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