Question

13．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n-m+14，n＞{m}^{2}}\\{f（f（n+m-13）），n≤{m}^{2}}\end{array}\right.$
求出所有的m，使得f（1995）=1995．

Answer 1

分析 根据已知中f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n-m+14，n＞{m}^{2}}\\{f（f（n+m-13）），n≤{m}^{2}}\end{array}\right.$，分当m＜$\sqrt{1995}$时，和当m≥$\sqrt{1995}$时，两种情况求出满足条件的m值，可得答案．

解答 解：f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{n-m+14，n＞{m}^{2}}\\{f（f（n+m-13）），n≤{m}^{2}}\end{array}\right.$
当m＜$\sqrt{1995}$时，n＞m²，
f（1995）=1995-m+14=1995，
解得：m=14，满足条件；
当m≥$\sqrt{1995}$时，n≤m²，1995+m-13＞m²，
∴f（1995）=f（f（1995+m-13））=f（1995+m-13-m+14）=f（1996）=f（1997）=…=f（m²）=f（m²+1）=m²+1-m+14=1995，
解得：m=45，或m=-44（舍去），
综上所述，m=45，或m=14．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，本题含有参数，分类起来比较抽象，属于难题．