Question

若不等式(

1

2

)x2-2ax＜23x+a2对任意实数x都成立，则a的取值范围为

(

3

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：先利用指数的运算性质将不等号两边的指数式的底数都化为

1

2

，再根据以

1

2

为底的指数函数在R上减函数，要将原一不等式化为一个二次不等式，结合二次函数的图象和性质，构造关于a的不等式即可得到答案．

解答：解：若不等式(

1

2

)x2-2ax＜23x+a2对任意实数x都成立，
即(

1

2

)x2-2ax＜

1

2

-(3x+a2)对任意实数x都成立，
即x²-2ax+3x+a²＞0恒成立
即△=（3-2a）²-4a²＜0
解得a＞

3

4

故a的取值范围为(

3

4

，+∞)
故答案为：(

3

4

，+∞)

点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，其中在解答指数不等式式时，要选将不等号两边的式子的底数化成一致，再利用指数函数的单调性将指数不等式化为整式不等式．