题目内容

若不等式x3+x2+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立，则a的取值范围是
{a|a＜-12}
{a|a＜-12}
．
分析：求不等式x3+x2+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立时a的取值范围，转化为a＜-x3-x2后，求t=-x3-x2在x∈[0，2]的最小值即可．
解答：解：∵x3+x2+a＜0，∴a＜-x3-x2；
设t=-x3-x2，则t，=-3x2-2x；
令-3x2-2x=0，解得x=0，或x=-
2
3
；
当x＞0时，t，＜0，∴t=-x3-x2在x∈[0，2]上是减函数；
∴当x=2时，t有最小值tmin=-23-22=-12；
∴不等式x3+x2+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立时a的取值范围是{a|a＜-12}．
故答案为：{a|a＜-12}．
点评：本题考查了一元二次不等式与导数的综合应用问题，解题的关键是转化为函数后，求函数的最小值，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在(
3
2
，3)上的两个函数f(x)=
a
1+x2
，g(x)=
1
x
-
3
16
，y=f(x)的图象在点A(
3
，f
3
)处的切线的斜率为-
3
4
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试求实数k的最大值，使得对任意x∈(
3
2
，3)，不等式f(x)≥kg(x)恒成立；
（3）若x1，x2，x3∈(
3
2
，3)，且3x1x2x3=2(x1x2+x2x3+x3x1)，求证：
1
1+
x
2
1
+
1
1+
x
2
2
+
1
1+
x
2
3
≥
3
5
．
给出下列命题：
①若函数f(x)=
x3+2x-3
x-1
，(x＞1)
ax+1，(x≤1)
在点x=1处连续，则a=4；
②若不等式|x+
1
x
|＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是1＜a＜3；
③不等式（x-2）|x2-2x-8|≥0的解集是x|x≥2．
其中正确的命题有
 
．（将所有真命题的序号都填上）
给出下列四个判断：
①定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时f（x）=x2+2，则函数f（x）的值域为{y|y≥2或y≤-2}；
②若不等式x3+x2+a＜0对一切x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是{a|a＜-12}；
③当f（x）=log3x时，对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
④设g（x）表示不超过t＞0的最大整数，如：[2]=2，[1.25]=1，对于给定的n∈N+，定义
C
x
n
=
n(n-1)…(n-[x]+1)
x(x-1)…(x-[x]+1)
，x∈[1，+∞），则当x∈[
3
2
，2）时函数
C
x
8
的值域是(4，
16
3
]；
上述判断中正确的结论的序号是
②④
②④
．
已知函数f（x）=
x3(x＞0)
(3-a)x-a(x≤0)
，给出下列四个命题：
（1）当a＞0时，函数f（x）的值域为[0，+∞），
（2）对于任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，若
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0恒成立，则a∈[0，3）；  
（3）对于任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，恒有
f(x1)+f(x)2
2
＜f（
x1+x2
2
）；  
（4）对于任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，若不等式|f（x1）-f（x2）|＞t|x1-x2|恒成立，则t的最大值为0．其中正确的有
（2）（4）
（2）（4）
（只填相应的序号）

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