Question

14．已知角α的终边过点P（-4，3）
（1）求$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$的值；
（2）若β为第三象限角，且tanβ=$\frac{4}{3}$，求cos（2α-β）

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα、tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinβ、cosβ的值，再利用二倍角公式求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵角α的终边过点P（-4，3），∴r=|OP|=5，cosα=$\frac{-4}{5}$=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{tanα}{sin（π-α）-cos（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{tanα}{sinα+sinα}$=$\frac{1}{2cosα}$=-$\frac{5}{8}$．
（2）若β为第三象限角，且tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{4}{3}$，再根据sin²β+cos²β=1，
可得sinβ=-$\frac{4}{5}$，cosβ=-$\frac{3}{5}$．
再根据sin2α=2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，cos2α=2cos²α-1=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ=$\frac{7}{25}×（-\frac{3}{5}）$+（-$\frac{24}{25}$）•（-$\frac{4}{5}$）=$\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．